به کمک نقاله سؤالات زیر را پاسخ دهید:
۱) سینوس کدام دو زاویه برابر است؟ (مثلاً $\sin 10^{\circ} = \sin 170^{\circ}$)
سینوس یک زاویه، مؤلفهٔ $y$ نقطهٔ انتهای کمان آن روی دایرهٔ مثلثاتی است. در ربع اول و دوم، دو زاویهٔ **مکمل** (با مجموع $180^{\circ}$) دارای سینوس برابر هستند.
$$\text{سینوس دو زاویهٔ } \alpha \text{ و } 180^{\circ} - \alpha \text{ برابر است.}$$
$$\text{مثال}: \mathbf{\sin 30^{\circ} = \sin 150^{\circ}}$$
$$\text{مثال}: \mathbf{\sin 60^{\circ} = \sin 120^{\circ}}$$
اختلاف کدام دو زاویه $\frac{\pi}{2} \text{ رادیان} = 90^{\circ}$ می‌شود؟ نسبت‌های مثلثاتی یک نمونه را به دست آورید.
زوایایی که اختلاف آن‌ها $90^{\circ}$ باشد، به صورت $\alpha$ و $90^{\circ} + \alpha$ (یا $\frac{\pi}{2} + \alpha$) هستند.
$$\text{دو زاویهٔ } \alpha \text{ و } 90^{\circ} + \alpha \text{ اختلاف } 90^{\circ} \text{ دارند.}$$
### نسبت‌های مثلثاتی یک نمونه
**نمونه**: $\alpha = 30^{\circ}$ و $90^{\circ} + \alpha = 120^{\circ}$.
$$\sin(90^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 120^{\circ} = \cos 30^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
$$\cos(90^{\circ} + 30^{\circ}) = \cos 120^{\circ} = -\sin 30^{\circ} = \mathbf{-\frac{1}{2}}$$
$$\tan(90^{\circ} + 30^{\circ}) = \tan 120^{\circ} = -\cot 30^{\circ} = \mathbf{-\sqrt{3}}$$
آیا دو زاویه می‌توان یافت که دارای کسینوس یکسان باشند؟ چرا؟
$$\text{جواب}: \mathbf{\text{بله.}}$$
$$\text{چرا}: \text{کسینوس یک زاویه، مؤلفهٔ } x \text{ نقطهٔ انتهای کمان آن روی دایرهٔ مثلثاتی است.}$$
$$\text{دو زاویهٔ } \alpha \text{ و } -\alpha \text{ (قرینهٔ یکدیگر نسبت به محور کسینوس)، دارای کسینوس یکسان هستند.}$$
$$\cos \alpha = \cos(-\alpha)$$
$$\text{مثال}: \mathbf{\cos 60^{\circ} = \cos(-60^{\circ}) = \frac{1}{2}}$$
$$\text{همچنین، دو زاویهٔ مکمل } \alpha \text{ و } 180^{\circ} - \alpha \text{ دارای کسینوس‌هایی با اندازهٔ یکسان و علامت مخالف هستند، مانند } \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \text{ و } \cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2} \text{، که برابر نیستند.}$$
نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $180^{\circ}$ را از روی مکمل آن بیابید.
زاویهٔ $180^{\circ}$ خود زاویهٔ مرزی است و مکمل آن $180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ}$ است.
$$\sin 180^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 0^{\circ}) = \sin 0^{\circ} = \mathbf{0}$$
$$\cos 180^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 0^{\circ}) = -\cos 0^{\circ} = \mathbf{-1}$$
$$\tan 180^{\circ} = \frac{\sin 180^{\circ}}{\cos 180^{\circ}} = \frac{0}{-1} = \mathbf{0}$$
$$\cot 180^{\circ} = \frac{\cos 180^{\circ}}{\sin 180^{\circ}} = \frac{-1}{0} = \mathbf{\text{تعریف نشده}}$$
نسبت‌های مثلثاتی زاویهٔ $135^{\circ}$ را از روی مکمل آن بیابید.
مکمل زاویهٔ $135^{\circ}$ برابر است با $180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.
$$135^{\circ} = 180^{\circ} - 45^{\circ} \quad (\text{ربع دوم})$$
$$\sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
$$\tan 135^{\circ} = -\tan 45^{\circ} = \mathbf{-1}$$
$$\cot 135^{\circ} = -\cot 45^{\circ} = \mathbf{-1}$$
